Le théorème d'Al-Kashi

Théorème d'Al-Kashi

Soit \(\text A\text B\text C\) un triangle. On note \(a\), \(b\) et \(c\) les longueurs des côtés opposés respectivement aux sommets \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\).

On a alors :

• \(\boxed{a^2=b^2+c^2-2bc \cos(\hat{\text A})}\)
  
• \(\boxed{b^2=a^2+c^2-2ac \cos(\hat {\text B})}\)
  
• \(\boxed{c^2=a^2+b^2-2ab \cos(\hat{\text C})}\)
  

Démonstration

Démontrons la première égalité, les autres se démontrent de façon analogue. 
\(a^2=\Vert\overrightarrow{\text{BC}}\Vert^2=\overrightarrow{\text{BC}}^2\)
Or :
\(\overrightarrow{\text{BC}}^2=(\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}})^2\)                                                                  
\(\hphantom{\overrightarrow{\text{BC}}^2}=(\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}})\cdot(\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}})\)
\(\hphantom{\overrightarrow{\text{BC}}^2}=\overrightarrow{\text{BA}} \cdot \overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BA}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AC}}\cdot\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}\) 
\(\hphantom{\overrightarrow{\text{BC}}^2}=\Vert\overrightarrow{\text{BA}}\Vert^2+\Vert\overrightarrow{\text{AC}}\Vert^2+2\times\overrightarrow{\text{BA}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\)
\(\hphantom{\overrightarrow{\text{BC}}^2}=\Vert\overrightarrow{\text{AB}}\Vert^2+\Vert\overrightarrow{\text{AC}}\Vert^2-2\times\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\)
\(\hphantom{\overrightarrow{\text{BC}}^2}=\Vert\overrightarrow{\text{AB}}\Vert^2+\Vert\overrightarrow{\text{AC}}\Vert^2-2\times\Vert\overrightarrow{\text{AB}}\Vert \times \Vert\overrightarrow{\text{AC}}\Vert\times \cos(\hat{\text{A}})\)
Avec les notations utilisées dans le théorème, on retrouve bien l'expression recherchée.

Remarque

Le théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore.
En effet, lorsque le triangle \(\text A\text B\text C\) est rectangle en \(\text A\), l’hypoténuse correspond au côté \([\text{BC}]\) de longueur \(a\) et \(\hat{\text A}=90°\). Or dans ce cas, \(\cos(\hat{\text A})=0\) et la formule d'Al-Kashi devient \(a^2=b^2+c^2\) qui est l'égalité de Pythagore.